A Borracha no Amortecimento de Vibrações

Vibrações livres

Consideremos uma massa m suportada por uma mola em borracha, de constante elástica K, (veja-se Figura 40). Se a massa m sofre um deslocamento x da sua posição de equilíbrio, é originada uma força de reacção:

Segundo a Lei de Newton:

F = m . a

Também:

Então podemos escrever:

ou:

A solução desta equação diferencial de segundo grau é da forma:

em que ω_n é a pulsação natural correspondente à frequência natural e tem o valor:

Como:

Combinando (80) e (81) obtemos:

Como  P = m.g,  em que g é a aceleração da gravidade, substituindo m em (80), temos:

donde:

e:

Visto que:

Numa situação ideal, a vibração tem uma duração infinita, o que corresponde a uma vibração livre não amortecida.

Vibrações amortecidas

Na prática, como há atrito molecular mais ou menos intenso, a amplitude da vibração diminui progressivamente até atingir uma posição de equilíbrio. Temos assim uma vibração livre amortecida; a que também é vulgar chamar-se vibração livre com amortecimento viscoso.

Consideremos uma massa m suportada por uma mola em borracha, de constante elástica K e resistência viscosa R, (veja-se Figura 41). Se a massa m sofre um deslocamento x da sua posição de equilíbrio, é originada uma força de reacção:

Vimos que a resistência viscosa é igual a α.dx/dt, em que α é a constante de amortecimento (equação 73). Assim, a equação (85) toma a forma:

Ou ainda:

Dividindo todos os membros por m, temos:

Vimos que K/m = ω_n² (equação 80). Logo poderemos escrever:

Com recurso a uma equação auxiliar, podemos escrever:

Que é uma equação do tipo:

x² + p.x + q = 0

que tem como solução:

De acordo com (90), podemos escrever:

Quando:

podemos também escrever:

Como

então:

Nestas circunstâncias,

Isto é, o amortecimento é crítico, e a expressão (74) pode escrever-se:

Voltando às raízes da equação (90), (expressão 91), podemos escrever:

1 – Se, a vibração será sobre-amortecida.

A solução para esta equação diferencial é da forma:

em a₁ e a₂ são constantes, que são obtidas em função das condições iniciais.

2 – Se , o amortecimento será crítico.

A solução para esta equação diferencial é da forma:

em a₁ e a₂ são constantes, que são obtidas em função das condições iniciais.

Nesta situação, o amortecimento origina um retorno à posição inicial, sem qualquer oscilação.

3 – Se , a vibração será sub-amortecida.

Neste caso, a solução para esta equação diferencial é da forma:

em que a e Φ são constantes, definidas pelas condições iniciais e

Na Figura 42 mostram-se os vários tipos de amortecimento.

Nas vibrações amortecidas, a redução de amplitudes sucessivas é constante, o que quer dizer:

Chama-se decremento logarítmico β ao logaritmo da relação entre duas amplitudes sucessivas, ou seja:

Existe uma relação entre o decremento logarítmico β e a relação de amortecimento Є (expressão 74 – ver “Propriedades Mecânicas Dinâmicas”), que é a seguinte:

Para os valores usuais de amortecimento, o denominador da expressão (99) é praticamente igual a 1. Assim:

Como o decremento logarítmico é facilmente determinado, a expressão (100) permite determinar o valor de Є.

Vibrações forçadas e transmissibilidade

Se a umdeterminado sistema for aplicada uma força de carácter periódico, a acção resultante é referida como uma vibração forçada. O sistema atingirá o seu estado de equilíbrio quando a energia de histerése contrabalançar a energia cedida ao sistema.

O sistema entra em ressonância quando a frequência de excitação for igual à sua frequência natural. Nestas condições, podem ocorrer situações de destruição do sistema. A utilização de amortecedores de borracha proporciona condições de amortecimento, por redução da amplitude de vibração, limitando o seu valor em condições de ressonância.

São muito correntes as aplicações em que se pretende evitar a transmissão de vibrações ou, pelo menos, reduzi-las a níveis toleráveis. Chama-se transmissibilidade ζ à relação entre a força transmitida e a força excitante, ou a relação entre as amplitudes da vibração no lado protegido e no lado da acção perturbadora. Pode demostrar-se que:

A representação de ζ em função de f/f_n é mostrada na Figura 43, para vários valores de Є. Verifica-se que para valores de f/f_n=√2, ζ=1. Nesta situação não há amortecimento, isto é, a transmissão da vibração é de 100%. Na prática, é normal considerar-se o valor de f/f_n=3 como o correspondente a boas condições de isolamento, isto é, boas condições de baixa transmissibilidade.

Da mesma Figura 43 podem-se tirar as seguintes conclusões: