Rodas com rasto elastomérico. Determinação da sua capacidade de carga

Capacidade de carga de uma roda com rasto elastomérico. Sua determinação.

A capacidade de carga de uma roda é uma das suas principais características. Por esta razão vamos analisá-la separadamente. Nos cálculos para determinação da capacidade de carga de uma roda é utilizado o Módulo de elasticidade ou Módulo de Young, E₀; esta grandeza está relacionada, como se sabe, com a dureza. No projecto de rodas é fundamental o conhecimento desta grandeza.

O Dr. I. Evans desenvolveu uma expressão para calcular a capacidade de carga de rodas, a partir da clássica teoria da elasticidade de Lamé. Esta expressão foi publicada no “British Journal of Applied Physics”, Vol. 5, Maio de 1954, pág. 187-188:

F = 8.E_o.B.D^1/2.δ^3/2/(3.t)           (1)

Sendo (ver Figura 9):

Figura 9 – Dimensões de uma roda

 

Esta expressão é apresentada pelo Dr. P.B. Lindley no livro “Engineering Design with Natural Rubber”, pág. 35, uma publicação de “NRPRA – The Natural Rubber Producers Research Association” – actualmente “TARRC – Tun Abdul Razak Research Centre”).

A mesma expressão é também referida no livro Castable Polyurethane Elastomers, (I. R. Clemitson, CRC Press, pág. 154); a expressão é, todavia, apresentada com outros símbolos e com um outro aspecto matemático; mas o seu rearranjo conduz exactamente à expressão (1).

Sempre utilizei a expressão do Dr. Evans no cálculo da capacidade de carga de rodas com rasto elastomérico. E, posso afirmar, sempre com bons resultados, embora com as dificuldades decorrentes do não conhecimento do valor correcto do módulo de elasticidade E_o.

No Website da empresa americana Anderson Development Company é apresentado um calculador da deflexão e da tensão em rodas (Calculating Deflection and Stress on a Wheel) neste endereço.

O calculador utiliza precisamente a expressão (1) de Evans, como pode ser facilmente verificado. A empresa Anderson Development Company considera também que a carga máxima recomendada para as rodas não deve originar uma deflexão superior a 3%, valor que é, na minha opinião, um valor exageradamente baixo. Muitos fabricantes de rodas e rodízios admitem deflexões máximas da ordem de 15% e por vezes bem superiores (valor obviamente dependente do tipo de material utilizado nos rastos das rodas). Clemitson refere que o valor da deflexão deve ser inferior a 10% do valor de t; contudo, o valor de 5% parece-me muito aceitável (e prudente!) para efeitos de projecto, pelo que será o valor considerado nos cálculos efectuados.

Uma outra expressão para cálculo da capacidade de carga foi desenvolvida pela organização americana “The Tire and Rim Association Inc.” e foi publicada na revista Rubber World, Vol. 167, Nº1, 1972, pág. 50 e 52). Nesta expressão, e por questões de uniformidade, vamos manter os símbolos que têm sido utilizados, mas com dimensões em polegadas e a carga expressa em libras.

F = K. (B – 0,54.t).D^0,75.t^0,33               (2)

K é uma constante, que tem os seguintes valores:

A expressão (2) é válida para rodas com rastos de borrachas dos tipos NR, SBR, NBR, CR, BR e EPDM, independentemente das suas características físicas e mecânicas (?). Para rastos de borracha de Poliuretano, e também independentemente duas suas características físicas e mecânicas (?), o valor calculado de F deve ser multiplicado pelo factor:

A expressão (2) nunca me mereceu atenção, pois que não considera as características específicas dos materiais utilizados nas rodas. Considera, genericamente, rodas de borracha (ignorando as durezas que possam possuir) e rodas de poliuretano (ignorando também as diferentes durezas que os diversos tipos de poliuretano possuem). A expressão remonta, provavelmente, a uma data anterior a 1972, o ano em que veio publicada na revista Rubber World. Actualmente não se encontra qualquer referência a esta expressão no Website daquela associação.

 

Outra fórmula de cálculo

Há alguns anos desenvolvi uma expressão para o cálculo da capacidade de carga de rodas com rasto elastomérico; esta expressão fornece, todavia, resultados sempre inferiores em 33,7% em relação aos valores fornecidos pela expressão do Dr. Evans.

Vejamos em seguida o seu desenvolvimento.

Considere-se uma roda de diâmetro D (raio R) e com a largura do rasto B. Sobre o eixo da roda é exercida uma força F, a qual dá origem a uma deformação do rasto, passando o valor do raio, na linha central da área de contacto, a apresentar um valor de R-δ. Como a borracha é incompressível, o volume de material deslocado é transferido para as zonas laterais da roda, localizadas na área de contacto com o pavimento, como é mostrado na Figura 10.

Figura 10 – Deformação de uma roda sob o efeito de uma força F

 

Vamos designar por a o comprimento da área de contacto; a sua largura é a largura do piso da roda, B. O valor de a é calculado, considerando o triângulo rectângulo constituído pelos lados de comprimento R, R-δ e a/2; assim, podemos escrever:

R² = (a/2)² + (R-δ)²

R² = a²/4 + R² +δ² – 2.R.δ

a² = 8.R.δ – 4.δ²

a² = 4. δ. (2.R – δ)

a = [4. δ. (2.R – δ)]^(1/2)

a = 2. [δ. (D – δ)]^(1/2)                                (3)

A área de contacto da roda com o pavimento A tem o valor:

A = a.B

A = 2.[δ. (D – δ)]^(1/2).B                           (4)

A força exercida sobre a roda é transmitida ao pavimento na área de contacto. A pressão exercida na área de contacto P_AC tem o seguinte valor:

P_AC = F/2.[δ. (D – δ)]^(1/2).B                    (5)

A rigidez de uma roda K_R tem o valor:

K_R = F/δ                                                        (6)

 Sabemos também, que num processo de compressão:

K_R = F/δ ≅ E_o.A/t                                      (7)

 Sendo:

Combinando as expressões (4) e (7), podemos então escrever:

K_R = F/d ≅ 2.E_o.[d. (D – d)]^(1/2).B/t

Donde se pode tirar o valor de F:

F = 2.E_o. d.[δ. (D – δ)]^(1/2).B/t              (8)

Como consideramos que, para um bom desempenho e durabilidade da roda, um valor de d não deve ser superior a 5% do valor de t, vamos substituir na expressão (8) δ por 0,05.t, e assim teremos:

F = 2.E_o. 0,05.t.[0,05.t.(D – 0,05.t)]^(1/2).B/t

F = 0,1.E_o. [0,05.t.(D – 0,05.t)]^(1/2).B         (9)

 

Comparação dos resultados obtidos com as diferentes expressões

 Com exemplos concretos, vamos calcular e comparar os correspondentes valores das cargas F, calculados com as três expressões apresentadas (expressões 1, 2 e 9), para rodas com várias dimensões, com rastos em poliuretano de diferentes durezas (70, 80, 90 e 95 Shore A).

Foram também calculados os valores de outras grandezas, tais como:

 

No Quadro 3 são indicadas as dimensões das rodas objecto do estudo, a sua dureza Shore A, os correspondentes valores do Módulo de Young e os valores calculados das cargas F e das restantes grandezas atrás referidas.

(Clicar para ampliar)

Sendo:

Nota: Os resultados apresentados dos cálculos efectuados foram obtidos, com a maior facilidade, numa folha Excel.

 

Os resultados obtidos com a expressão (9) são, em todos os casos, como já referimos, 33,7% inferiores aos valores calculados com a expressão (1). Como a experiência demonstrou bons resultados nos projectos desenvolvidos com esta expressão e esta é também utilizada por empresas reputadas, sugiro também a sua utilização.

Como pode ser observado no Quadro 3, os valores das cargas obtidos com a expressão da organização The Tire and Rim Association são, de um modo geral, muito mais elevados quando comparados com os obtidos com as expressões (1) e (9). E apresentam também, de roda para roda, uma variação errática. Portanto, uma expressão de cálculo que considero não recomendada.

Nos cálculos efectuados foi considerada a utilização de poliuretanos do tipo poliéster produzidos pela empresa Anderson Development Company, com durezas de 70, 80, 90 e 95 Shore A, com os seguintes valores de E₀:

Como complemento dos cálculos atrás descritos, podemos ainda determinar, muito aproximadamente, o valor do volume de material do rasto deslocado e o alargamento da largura da roda na zona próxima do seu contacto com o pavimento, como consequência da carga exercida no eixo da roda.

Como é conhecido, os materiais elastoméricos são incompressíveis. Assim sendo, o volume de material que resulta da deflexão da roda (veja-se as Figuras 11 e 12), é transferido para as zonas laterais adjacentes (protuberâncias, “bulge”). Note-se que este efeito é mais ou menos visível, o que depende, obviamente, da configuração do rasto; as figuras atrás referidas ilustram exactamente o que pretendemos assinalar.

Quantitativamente, o volume de material transferido resulta do produto da área do segmento circular que corresponde à deflexão da roda (o segmento circular com a cor laranja) pelo valor da largura do rasto.

Figura 11 – Deflexão de uma roda sob o efeito de uma carga

 

Figura 12 – Deflexão de uma roda com o rasto arredondado

 

A área de um segmento circular A_SC (ver Figura 11, área na cor laranja) pode calcular-se, com grande aproximação, com as seguintes expressões:

A_SC= δ.(3.δ² + 4.a²)/(6.a)                    (10)

 Ou:

A_SC= 2.δ.a/3                                               (11)

As duas expressões conduzem praticamente aos mesmos valores, diferindo nalguns casos apenas uma décima milésima.

Nestas expressões são utilizados os valores da deflexão δ e os valores do comprimento das superfícies de contacto a, valores já conhecidos. O valor da área A_CS, multiplicado pela largura do rasto B, corresponde ao volume V_b de material deslocado; este volume é distribuído pelos dois lados da roda.

V_b = A_SC . B

V_b = 2.δ.a.B/3                                           (12)

O aumento de volume em cada lado V_bl tem o valor:

V_bl = δ.a.B/3                                              (13)

 

Um artigo com o título Designing Polyurethane Tyres, publicado na revista Plastics and Rubber News, em Abril de 1982, nas páginas 41, 43 e 46 e elaborado pelo instituto Bionic Research Institute, (África do Sul), diz que o volume V_b tem, muito aproximadamente, a forma de um elipsoide, com os semi-eixos a/2, t/2 e b (ver o semi-eixo b na Figura 10); a expressão do seu volume tem a forma:

 

 

(14)

 

Da combinação das expressões (12) e (14), podemos obter o valor de b:

 

 

(15)

 

No Quadro 4 são apresentados os resultados dos cálculos efectuados de determinação dos valores da área A_SC, dos volumes V_b e V_bl e do valor de b (metade do alargamento da largura do rasto, na base da roda), para as rodas estudadas, que foram mostradas no Quadro 3.

Identificação das colunas do Quadro 4:

 

Uma outra aplicação da expressão (1) a rodas produzidas por um outro fabricante, com rasto em poliuretano, de tipo e características não conhecidas, excepto a sua dureza, parece mostrar uma razoável concordância com os valores indicados no seu Website para as capacidades de carga (rodas de diferentes dimensões e durezas), como pode ser verificado no Quadro 5.

 

Valores dos Módulos de Young que foram considerados:

Note-se que consideramos valores típicos de E₀ para poliuretanos do tipo poliéster. E sabemos que os valores de E₀, para o mesmo valor de dureza, podem variar amplamente com o tipo de poliuretano, como pode ser constatado no Website da empresa Anderson Development Company, atrás referida. Na Figura 13 são mostradas as gamas de variação dos valores do Módulo de Young para os diversos tipos de materiais correntemente utilizados no fabrico de rodas.

Figura 13 – Gamas de variação dos valores do Módulo de Young (E₀) de diversos materiais

 

No estabelecimento das capacidades de carga e nomeadamente no caso das rodas compostas por uma banda de rodagem e por um núcleo, a força de adesão entre estes dois componentes desempenha um importante factor. A união entre estes componentes pode ser de natureza química, de natureza mecânica ou uma combinação destes dois tipos. Na página Artefactos de Borracha Ligada a Substratos descrevemos as técnicas para o estabelecimento de ligação química entre borrachas e metais e entre borrachas e componentes plásticos.

Muitos fabricantes estabelecem as capacidades de carga das rodas de seu fabrico para diversos tipos de condições de serviço:

O valor da capacidade de carga estática corresponde, geralmente, ao valor de cálculo de projecto. O valor da capacidade de carga para serviço manual, por razões de natureza ergonómica, representa em geral cerca de 30 a 40% do valor da capacidade de carga estática. O valor da capacidade de carga para serviço a 4 km/hora representa, em geral, cerca de 40 a 60% do valor da capacidade de carga estática.

Para condições de serviço a alta ou a baixa temperatura, as capacidades de carga são reduzidas progressivamente na medida em que a temperatura é mais alta ou mais baixa, em percentagens que variam também com o tipo do material que constitui o rasto e, naturalmente, com os critérios do fabricante.

Os diversos fabricantes fornecem, normalmente, indicações bem precisas relativamente às condições de utilização nas várias condições de serviço.