Relações Constitutivas Tensão-Deformação

Para um material anisotrópico, a Lei de Hooke generalizada pode exprimir-se da seguinte forma:

sendo:
σ_ij – tensões;
C_ijkl – constantes elásticas;
ε_kl – deformações.

Se o tensor das deformações for expandido, resultam 9 equações, cada uma das quais com 9 incógnitas, de que resultam, portanto, 9×9=81 constantes elásticas desconhecidas. Contudo, por razões de simetria do tensor de tensões σ_ij, o número de constantes elásticas incógnitas fica reduzido a 36. Este número de incógnitas pode ser ainda reduzido a 21, se entrarmos em consideração com o conceito de energia de deformação, uma vez que esta se relaciona com tensões e com deformações pela expressão:

sendo U_ij a energia de deformação.

Para os materiais ortotrópicos, pelas razões de simetria que lhes estão implícitas, (simetrias relativamente a três planos ortogonais), as relações constitutivas deste tipo de materiais reduzem a 9 o número de constantes elásticas incógnitas e podem assim ser caracterizados por 3 módulos de Young (E_x , E_y e E_z ), por 3 coeficientes de Poisson (ν_yz, ν_zx e ν_xy), e por 3 módulos ao corte (G_yz, G_zx e G_xy).

Para os materiais monotrópicos, também designados por materiais transversalmente isotrópicos, o números de incógnitas é reduzido a 5 e estes materiais podem ser caracterizados por 2 módulos de Young, (E_l e E_t), por 2 coeficientes de Poisson (ν_l e ν_t) e pelo módulo ao corte G, sendo l a direcção de monotropia e t a direcção perpendicular (ou ortogonal).

Para os materiais isotrópicos, pelas razões de simetrias existentes qualquer que seja a direcção considerada, o número de constantes elásticas incógnitas é reduzida a duas, podendo estes materiais ser caracterizados por duas constantes elásticas, a escolher entre as várias combinações possíveis dos quatro parâmetros E (módulo de Young), E_∞ (módulo de compressibilidade ou volúmico), G (módulo ao corte) e ν (coeficiente de Poisson).