Cálculo de Apoios Elastoméricos

Cálculo de apoios elastoméricos

 

Grandezas utilizadas:

δ_c = Deflexão por compressão;

δ_s = Deflexão por corte;

A = Área de aplicação da força F;

d_c = Deflexão relativa por compressão;

d_s = Deflexão relativa por corte;

e = Espessura total de borracha;

E_∞ = Módulo volúmico;

E’_c = Módulo de compressão corrigido;

E_c = Módulo de compressão;

E_o = Módulo de Young;

F_c = Força de compressão ou força vertical;

F_s = Força tangencial ou de corte;

G = Módulo ao corte;

k  = Constante

K_c = Rigidez à compressão.

K_s = Rigidez ao corte.

q_c = força de compressão por unidade de área.

q_s = força de corte por unidade de área.

S  = Factor de forma

 

 

Formulário

1. Acções de compressão

Módulo de compressão:

E_c = E_o . (1+2.k.S²)

Módulo de compressão corrigido para o efeito da compressão volúmica:

E’_c = E_c / (1+E_c/E_∞)

      = E_o . (1+2.k.S²)/[1+ E_o . (1+2.k.S²)/E_∞]

Quando S>3:

E_c ≈ 5G.S²

Rigidez em compressão:

K_c = F_c/δ_c = E_c.A/e

Deflexão relativa por compressão:

d_c = δ_c/e

Força de compressão por unidade de área:

q_c = F_c/A

 

2. Acções de corte

Rigidez ao corte:

K_s = F_s/δ_s = G.A/e

Deflexão relativa por corte:

d_s = δ_s/e

Força de corte por unidade de área:

q_s = F_s/A

 

Blocos de borracha em compressão

Vamos considerar aparelhos de apoio com as secções rectangular, quadrada e circular, cujas dimensões são indicadas na Figura 12.

Figura 12 – Apoios com as secções rectangular, quadrado e circular

 

O factor de forma S é, por definição, a relação entre a área da superfície carregada e a superfície livre para expansão:

S = Superfície carregada/Superfície livre

De acordo com esta definição, são indicadas na Figura 13, as expressões para cálculo dos factores de forma S para as formas geométricas atrás referidas.

Figura 13 – Expressões de cálculo dos factores de forma de aparelhos de apoio rectangulares, quadrados e circulares

 

Os apoios elastoméricos, como qualquer outro tipo de apoio, devem possuir uma adequada e elevada rigidez vertical, isto para que não apresentem apreciáveis deformações e deem originem a variações apreciáveis na altura da estrutura que suportam – o tabuleiro de uma ponte, no caso presente.

Por outro lado, devem possuir uma baixa rigidez horizontal, para impedir a transmissão à estrutura de suporte de forças excessivas, originadas por causas tão diversas como contracções e dilatações causadas por variações de temperatura, deslocamento causados pelo tráfego ou pela acção do vento, etc.

A área de carga do aparelho de apoio pode estar limitada pela área de suporte. Mas tem de poder absorver a carga vertical que lhe é transmitida, com uma pequena deflexão vertical. A necessária rigidez vertical poderá ser conseguida pela inserção de um certo número de chapas de aço. Conhecida a área do aparelho de apoio, pode ser definida, de imediato, a espessura de borracha (e) a utilizar, de modo a limitar a sua rigidez horizontal.

Com um exemplo numérico tudo isto será melhor clarificado. Para o efeito, vamos considerar um aparelho de apoio de secção quadrada (lado L), produzido com borracha com uma dureza de 60 IRHD.

No Quadro 3 apresentamos as características elásticas para borrachas com durezas compreendidas entre 30 e 75 IRHD (Lindley, P.B. – Engineering Design with Natural Rubber).

Estes dados, obtidos por Lindley em borracha natural, podem ser aplicados com suficiente aproximação a borracha de policloropreno.

Para um composto de borracha com a dureza de 60 IRHD, temos os seguintes valores para os seus módulos elásticos (em MPa e kg/cm²):

O aparelho de apoio vai ter de suportar uma carga vertical (F_c) de 3500 kN (357 ton) e uma carga horizontal (Fs) de 147 kN (15 ton). E pretende-se que a deflexão por compressão não seja superior a 1,8 cm e que a deformação por corte não seja superior a 40% da espessura de borracha (dados do problema).

Portanto, a rigidez vertical terá de ser ⋝ 357/1,8 = 198 ton/cm.

Como vimos:

K_s = F_s/d_s = G.A/e

Portanto, podemos escrever:

K_s =15000/0,4.e = 10,81.L²/e

Por razões de estabilidade deve considerar-se que L/e ⋝ 5. Vamos considerar L/e=5.

Então:

K_s =15000/0,4.e = 10,81.(5.E)²/e

K_s =15000/0,4.e = 10,81.25.E²/e

K_s =37500/e = 10,81.(5.E)²/e

Ou seja:

37500 = 10,81.(5.e)²

e² = 138,8

e = 11,8 cm

Vamos considerar: e=12 cm

Então o valor da rigidez ao corte K_s terá o seguinte valor:

K_s =15000/0,4 . 12

K_s =15000/4.8

K_s =3125 kg = 3,125 ton.

Vamos designar por n o número de camadas de borracha. Sendo e a espessura total de borracha, que garante a necessária rigidez horizontal, então cada camada de borracha terá a espessura e’, sendo:

e’ = e/n

O factor de forma S para cada camada de borracha de espessura e’, num aparelho de apoio de secção quadrada e lado L, tem o valor (veja-se Figura 11):

S = L/4.e’

Vamos considerar:      L = 5.e

Então:

S = 5.e/4.e’

Ou:

S = 5.n/4

Visto que:

e/e’ = n

A expressão da rigidez horizontal (ou rigidez ao corte), K_s, tem a expressão:

K_s = G.A/e

Como:            A = L²

e:                    e = L/5,

Podemos escrever:

K_s = 5.G.L²/L = 5.G.L

A expressão para a rigidez vertical, K_c, é:

K_c = F_c/d_c = E_c.A/E

Sendo:

F_c= Força de compressão;

d_c = Deflexão vertical;

Por outro lado, e como já vimos, quando S>3,            E_c ≈ 5.G.S²

Substituindo, temos:           K_c = 5 . G . S² . A/e

                                               K_c = 5 . 5 . G . S² . A/L

                                               K_c = 5 . 5 . G . S² . L²/L

                                               K_c = 5 . 5 . G . S² . L

 Como K_s = 5.G.L, podemos escrever:

K_c =5 . K_s . S²

e:           K_c =5 .K_s . (5.n/4)²,

 visto que, S=5n/4, para um apoio de secção quadrada.

Então, temos:

Kc/Ks = 5. (5.n/4)²          (a)

Como já conhecemos os valores exigidos para a rigidez vertical, K_c=198 ton/cm e para a rigidez horizontal, K_s=3,125 ton/cm, então, substituindo em (a), temos:

198/3,125 = 5.(5.n/4)²

63,36 = 125.n²/16

63,36 = 7,81.n²

n² = 8,11

n = √8,11 = 2,85

Mas n tem de ser um número inteiro; e o valor mais próximo será 3, que é o valor que vamos considerar.

Como vimos, K_s = 5.G.L

Como conhecemos os valores de K_s e de G, podemos calcular o valor de L:

L = K_s/5G

L = 3125/5 . 10,81

L = 57,8 cm ≈ 60 cm

(Isto porque 60×60 cm é uma das dimensões de aparelhos de apoio normalmente produzidas).

Tínhamos visto que o valor de e era de 12 cm; é a espessura total de borracha. Ora estando esta espessura de borracha distribuída por três camadas, cada uma das quais terá 12/3 = 4 cm.

Na Figura 14 temos uma representação de uma secção transversal do aparelho de apoio, com a indicação dos parâmetros até agora calculados.

Figura 14 – Aparelho de apoio e parâmetros calculados

 

Faltam definir ainda alguns parâmetros do aparelho de apoio, que são normalmente definidos por cada fabricante, de acordo com a sua própria tecnologia. O número de chapas de aço será n+1 – portanto 4, neste caso. A espessura das chapas é variável de fabricante para fabricante, mas para as dimensões deste apoio será certamente de 4 ou 5 mm; vamos admitir ser de 4 mm.

Há também a definir a espessura de borracha que protege lateralmente o apoio e também nas faces em carga; são igualmente variáveis com as dimensões do apoio e podem variar de fabricante para fabricante. No caso presente, a espessura lateral deve estar compreendida entre 4 e 6 mm e nas faces de carga entre 2,5 e 4 mm; vamos admitir 5 mm e 3 mm, respectivamente (veja-se a Figura 15).

Figura 15 – Dimensão e espessuras das chapas de aço e espessuras de cobertura, em elastómero

 

De acordo com os valores considerados, as dimensões dos componentes do aparelho de apoio e a sua espessura total é mostrada no Quadro 4.

Como efectuamos arredondamentos para os valores de n e de L, os valores para K_c e K_s ficam ligeiramente alterados. Passam a ser os seguintes:

K_c/K_s = 5. (5.n/4)²  

K_c/K_s = 5. (5.3/4)²

K_c/K_s = 70,3

 

K_s = 5.G.L

K_s = 5.10,81. 60

K_s = 3243 kg = 3,243 ton

E o valor para K_c será:

K_c = 70,3 . 3,243 =228,0 ton/cm

Valores ligeiramente superiores aos estabelecidos inicialmente, o que não é, de modo algum, inconveniente. Bem antes pelo contrário. Assim, a deflexão vertical por compressão será inferior ao exigido, o que é positivo. Será a seguinte:

K_c = F_c/δ_c

Como F_c = 357 ton K_c = 228,0 ton/cm, temos que:

δ_c = F_c/K_c = 357/228 = 1,57 mm,

valor que é inferior aos 1,8 mm pretendidos.

Vamos verificar agora qual é o valor de deformação por corte:

K_s = F_s/δ_s

Então,

d_s = F_s/ K_s

Como F_s = 15 ton e o novo valor de K_s é de 3,243 ton.,

δ_s = 15/3,243

δ_s =4,63 cm

 Vimos que a espessura do apoio é de 12 cm; este valor δ_s da deformação por corte representa 38,6% da espessura total do apoio, bem inferior ao valor recomendado de 50%. Valor, portanto, bastante aceitável.

O apoio laminado que foi calculado recebe uma carga vertical de 357 ton; como tem uma secção de carga de 60×60 =3600 cm², opera a uma pressão específica de 357.000/3600 = 99,2 kg/cm². Este tipo de apoios operam com cargas específicas que podem variar entre cerca de 80 kg/cm² e cerca de 450 kg/cm², tudo dependente da sua rigidez vertical.